方程式 \[ f(x) = x^3 - x + 1.5 = 0 \] に対するニュートン反復の式を、 \[ g(x) = x - \frac{f(x)}{f'(x)} \] で定義する。このニュートン反復の3周期解、すなわち、 \[ x_{n+1} = g(x_n) \] としたとき、 \[ x_3 = x_0, \, x_2 \ne x_0, \, x_1 \ne x_0 \] となるような初期値 \( x_0 \)を求める問題を考える。
(1) そのような初期値は全部で6個 (3つずつでループになるので実質2個) 存在する。 それを精度保証付きで求めよ。
(2) その2種類の周期解のうち、片方は安定、片方は不安定であることを示せ。 すなわち、\( h(x)=g(g(g(x))) \)としたとき、 \(|h'(x)|\)が片方は\(1\)より小さく、片方は\(1\)より大きいことを示せ。