\( -1 \le x \le 1,\, -1 \le y \le 1 \)のような \( xy \) 平面上の 正方形領域 (面積 \( 4 \) ) を考え、一様乱数を使って点 \( (x_i, y_i) \) を多数発生させる。 その点が原点中心半径 \( 1 \) の円 (面積 \( \pi \) ) の中にいくつ入っているかを調べる。 発生させた点の数を \( N \), 円の中に入った点の数を \( n \) とすると、 その数の比は正方形と円の面積比に近いはずなので、 \[ \frac{n}{N} \simeq \frac{\pi}{4} \] となるはずである。これを利用して、 \[ \pi \simeq \frac{4n}{N} \] と計算する。
方程式 \( f(x)=0 \) に対して、\( f'(x) \)を \( f \) の導関数として、適当な初期値 \( x_0 \) から出発して数列 \( \{ x_n \} \)を \[ x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)}{f'(x_i)} \] で計算すると、数列は \( f(x)=0 \) の解の一つに収束する(ことが多い)。
