箱入り娘

箱入り娘パズル

上図のような配置からスタートして、娘を下の出口から外に 連れ出すパズルである。娘以外は外に出してはいけない。

最小手数は85手。

まずは計算機に解かせる前に自分で遊んでみると、あまりの難しさに 驚くことだろう。

Javaアプレット

ソースはここ。 なお、解くのに使っているのアルゴリズムは下記の2分探索木を用いる方法である。

解法

• 探索時に過去と同じ局面が生成されると無限ループに陥ってしまうため、 過去の局面を全て覚えておいて重複をチェックする必要がある。
• 重複局面のチェックはメモリ、実行時間を必要とするため、 出来れば最短手順を探索したい。

アルゴリズムは比較的単純である。初期状態から1手で到達できる 全ての局面を調べ、記憶する。次に、今調べた1手で到達できる局面を 元に、2手で到達できる局面を全て調べて記憶する。以下同様に 調べ、目的の状態に到達するか、全ての局面を調べ終わったら終了する。 ただし、ループを防ぐために、新たな手が生成されたら過去の局面を 全て調べ、同一局面が過去に存在したら登録しない。

上記に加えていくつか問題に特有の工夫を加えることによって 実行時間を改善できるが、特に下の工夫は必要であろう。

• 同一形状のブロックは同一と見倣して重複チェックを行うことにより、 探索手数を大幅に減らすことが出来る。例えば、小僧Aと小僧Bが 入れ代わったような局面を同一と見倣すということである。

実行時間は、MMX Pentium 166M, FreeBSD 2.2.8で、約122秒であった。

改良案1

探索の高速化と言えば、二分探索木やハッシュが考えられるが、ここでは 二分探索木を用いてみた。 こうして作ったプログラムが、 hako2.c である。

これで実行時間は約4.7秒まで短縮した。 登録される局面数は最終的には24,000に達するので、それが10数回の 比較で済んでしまうことの効果は劇的である。

改良案2

すなわち、今n手目の局面Aから、n+1手目の局面Bを生成したとする。 このとき、n-2手目以前に局面Bは存在しない。

背理法で証明する。この場合、局面チェックを行っているから n-1手目以前に局面Aは存在しない。ところがn-2手目以前に 局面Bが存在したとすると、そこから局面Aが生成できるのでn-1手目以前に 局面Aが存在することになる。これは矛盾。

これを用いれば、探索数を劇的に減らすことが出来る。 hako.c でコメントアウトされている「/* #define MINUS2 */」を生かせば この方法になる(たった一行追加するだけ)。

実行時間は、約23秒であった。

改良案3

• 目的の状態が左右対称なので、左右対称な 局面は同一局面と見倣すことにより探索手数を約半分に減らすことが 出来る。

実行時間は、各々、31秒、2.2秒、6.3秒まで短縮した。

まとめ

	線形探索	二分探索木	2手前まで検索
対称性を利用しない	122秒	4.7秒	23秒
対称性を利用する	31秒	2.2秒	6.3秒

となった。